O seu pai era János Kóczán, que faleceu em 1933. Frequentou o ensino secundário em Sopron, na escola dos Beneditinos. Prosseguiu os seus estudos em Innsbruck e em Budapeste. Foi ordenado sacerdote a 21 de junho de 1925 pelo bispo diocesano János Mikes, tendo celebrado a sua primeira missa na sua aldeia natal. Entre 1926 e 1930 esteve nos EUA, altura em que foi chamado a regressar ao país. Após a detenção do cardeal József Mindszenty, os comunistas procuraram-no e tentaram — sem sucesso — convencê-lo a assinar uma declaração na qual condenasse o cardeal por «atividades traidoras». Alguns dias após a visita, fugiu e encontrou refúgio em Salzburgo, na Áustria, tendo-se mudado definitivamente para os EUA em 1950. Na sua lápide consta o nome próprio Balthazar e o ano de nascimento de 1901.