József Müllner wurde am 24. Juni 1899 in Káldon geboren. In seiner Kindheit verlor er seine Eltern. Einer argentinischen Überlieferung zufolge erlernte er das Tischlerhandwerk und trat bereits in jungen Jahren ins Berufsleben ein. Seiner Berufung zum Priester konnte er erst später folgen: 1930 wurde er in den Kreis der Seminaristen des Erzbistums Esztergom aufgenommen.

Er wurde nach Südamerika entsandt, um die Seelsorge für die ungarischen Einwanderer in Argentinien zu übernehmen. Am 24. August 1936 kam er in Buenos Aires an, wo er sein Theologiestudium am Hauptseminar in Villa Devoto abschloss. Am 18. September 1937 wurde er in Buenos Aires zum Priester geweiht.

Seinen priesterlichen Dienst begann er in der Diözese Mendoza. Er war als Bischofssekretär und Krankenhausseelsorger tätig und wurde zumindest 1950 offiziell als Mitarbeiter des Bistums Mendoza geführt. Zur Unterstützung der Armen und Kranken richtete er eine Arztpraxis ein, verteilte Lebensmittel an Bedürftige und errichtete aus Spenden die Kapelle „Virgen del Valle“.

Seinen Namen trägt bis heute das in Godoy Cruz ansässige Colegio Padre José Müllner, das im offiziellen Bildungsregister der Provinz Mendoza unter der Institutionsnummer P-082 und der Adresse Talcahuano 2507 geführt wird.

Am 14. Februar 1961 verstarb er unerwartet in Argentinien. Sein Nachlass wurde versteigert, und der Erlös wurde an seine in Ungarn lebenden, bedürftigen Verwandten weitergeleitet. Laut einer Gedenkschrift über ihn war er sich seiner ungarischen Herkunft stets bewusst und unterstützte während seiner Tätigkeit in Argentinien auch seine ungarischen Landsleute.