József Müllner nació el 24 de junio de 1899 en Káldon. Perdió a sus padres cuando era niño. Según una tradición biográfica argentina, aprendió el oficio de carpintero y comenzó a trabajar ya de joven. No pudo dedicarse a la vocación sacerdotal hasta más tarde: en 1930 fue admitido entre los seminaristas de la archidiócesis de Esztergom.

Fue enviado a Sudamérica para atender pastoralmente a los inmigrantes húngaros en Argentina. Llegó a Buenos Aires el 24 de agosto de 1936, donde completó sus estudios de teología en el seminario capitalino de Villa Devoto. El 18 de septiembre de 1937 fue ordenado sacerdote en Buenos Aires.

Comenzó su ministerio sacerdotal en la Diócesis de Mendoza. Desempeñó funciones como secretario episcopal y capellán de hospital, y, al menos en 1950, figuraba oficialmente entre los empleados de la Diócesis de Mendoza. Organizó un consultorio médico para ayudar a los pobres y a los enfermos, repartió alimentos a los necesitados y, gracias a donaciones, construyó la capilla de la Virgen del Valle.

El Colegio Padre José Müllner, situado en Godoy Cruz, sigue llevando hoy su nombre y figura en el registro oficial de educación de la provincia de Mendoza con el código institucional P-082, en el número 2507 de la calle Talcahuano.

Falleció inesperadamente en Argentina el 14 de febrero de 1961. Su legado se subastó y el importe se entregó a sus parientes pobres que vivían en Hungría. Según el homenaje que se le rindió, siempre se mantuvo fiel a sus raíces húngaras y, durante su trayectoria en Argentina, también apoyó a sus compatriotas húngaros.