József Müllner est né le 24 juin 1899 à Káldon. Il a perdu ses parents dès son enfance. Selon une tradition biographique argentine, il aurait appris le métier de menuisier et aurait commencé à travailler dès son plus jeune âge. Ce n’est que plus tard qu’il a pu embrasser sa vocation sacerdotale : en 1930, il a été admis parmi les séminaristes de l’archidiocèse d’Esztergom.

Il a été envoyé en Amérique du Sud pour assurer la pastorale des immigrants hongrois en Argentine. Il est arrivé à Buenos Aires le 24 août 1936, où il a achevé ses études de théologie au séminaire métropolitain de Villa Devoto. Il a été ordonné prêtre à Buenos Aires le 18 septembre 1937.

Il a commencé son ministère sacerdotal dans le diocèse de Mendoza. Il a exercé les fonctions de secrétaire épiscopal et d’aumônier d’hôpital, et figurait officiellement parmi les employés du diocèse de Mendoza au moins dès 1950. Il a mis en place un dispensaire pour venir en aide aux pauvres et aux malades, distribué de la nourriture aux plus démunis et fait construire, grâce à des dons, la chapelle de la Virgen del Valle.

Le Colegio Padre José Müllner, situé à Godoy Cruz, porte encore aujourd’hui son nom ; il figure dans le registre officiel de l’éducation de la province de Mendoza sous le code d’établissement P-082, au 2507 Talcahuano.

Il est décédé subitement en Argentine le 14 février 1961. Sa succession a été vendue aux enchères et le produit de la vente a été reversé à ses parents pauvres vivant en Hongrie. D’après l’hommage qui lui a été rendu, il n’a jamais oublié ses origines hongroises et a soutenu ses compatriotes hongrois tout au long de son activité en Argentine.