József Müllner nacque il 24 giugno 1899 a Káldon. Perse i genitori durante l’infanzia. Secondo una tradizione biografica argentina, imparò il mestiere di falegname e iniziò a lavorare già in giovane età. Poté seguire la vocazione sacerdotale solo in seguito: nel 1930 fu ammesso tra i seminaristi dell’arcidiocesi di Esztergom.

Fu inviato in Sudamerica per occuparsi della cura pastorale degli immigrati ungheresi in Argentina. Il 24 agosto 1936 giunse a Buenos Aires, dove completò gli studi teologici presso il seminario metropolitano di Villa Devoto. Il 18 settembre 1937 fu ordinato sacerdote a Buenos Aires.

Iniziò il suo ministero sacerdotale nella diocesi di Mendoza. Ricoprì l’incarico di segretario vescovile e di cappellano ospedaliero, e almeno nel 1950 figurava ufficialmente tra i dipendenti della diocesi di Mendoza. Organizzò un ambulatorio medico a sostegno dei poveri e dei malati, distribuì generi alimentari ai bisognosi e, grazie alle donazioni, fondò la cappella della Virgen del Valle.

Il suo nome è ancora oggi legato al Colegio Padre José Müllner di Godoy Cruz, che figura nel registro ufficiale dell’istruzione della provincia di Mendoza con il codice istituzionale P-082, all’indirizzo Talcahuano 2507.

Il 14 febbraio 1961 morì improvvisamente in Argentina. Il suo patrimonio fu messo all’asta e il ricavato fu destinato ai suoi parenti poveri residenti in Ungheria. Secondo la commemorazione a lui dedicata, ha sempre tenuto conto delle sue origini ungheresi e, durante la sua attività in Argentina, ha sostenuto anche i suoi connazionali ungheresi.