József Müllner nasceu em 24 de junho de 1899, em Káldon. Perdeu os pais ainda na infância. Segundo uma tradição biográfica argentina, aprendeu o ofício de carpinteiro e começou a trabalhar ainda jovem. Só mais tarde pôde seguir a vocação sacerdotal: em 1930, foi admitido entre os seminaristas da Arquidiocese de Esztergom.

Foi enviado para a América do Sul para prestar assistência pastoral aos imigrantes húngaros na Argentina. Chegou a Buenos Aires a 24 de agosto de 1936, onde concluiu os seus estudos teológicos no seminário da capital, em Villa Devoto. Foi ordenado sacerdote em Buenos Aires a 18 de setembro de 1937.

Iniciou o seu ministério sacerdotal na Diocese de Mendoza. Desempenhou funções como secretário episcopal e capelão hospitalar, e, pelo menos em 1950, figurava oficialmente entre os funcionários da Diocese de Mendoza. Organizou um consultório médico para apoiar os pobres e os doentes, distribuiu alimentos aos necessitados e, com donativos, fundou a capela da Virgen del Valle.

O seu nome continua a dar nome ao Colégio Padre José Müllner, em Godoy Cruz, que figura no registo oficial de ensino da província de Mendoza com o código institucional P-082, na rua Talcahuano, n.º 2507.

Faleceu inesperadamente na Argentina, a 14 de fevereiro de 1961. O seu espólio foi leiloado e o valor da venda foi entregue aos seus parentes carenciados que viviam na Hungria. De acordo com a homenagem que lhe foi prestada, ele nunca perdeu de vista as suas origens húngaras e, durante a sua atividade na Argentina, apoiou também os seus compatriotas húngaros.