Elemér Géza Eördögh wurde am 18. November 1897 zum Priester geweiht. Neben seinem Studium am Priesterseminar in Kalocsa erwarb er einen Universitätsabschluss und war anschließend in mehreren Pfarreien Ungarns tätig, die teilweise von einer deutschen und slowakischen Bevölkerung bewohnt waren. In Nagybánya war er Erzieher der Söhne des Grafen Vilmos Pongrácz, während er in Budapest Jura studierte. Nach seinem Dienst als Kaplan in Miskei und Kishegyes wurde er Pfarrer in Bácsújfalu und anschließend in Futak.

Im Jahr 1911 verließ er Ungarn während eines gegen ihn eingeleiteten Disziplinarverfahrens vor dem Heiligen Stuhl. Am 31. August traf er in den Vereinigten Staaten ein und betreute zwischen 1911 und 1913 die slowakisch-katholische Gemeinde in Throop, Pennsylvania. 1913 wurde er zum Pfarrer der ungarisch-römisch-katholischen Gemeinde „St. König Stephan“ in Toledo ernannt, die er bis zu seinem Tod leitete. Unter seiner Leitung wurde der Bau der Kirche und der dazugehörigen Einrichtungen abgeschlossen, und die Pfarrei entwickelte sich zu einem der wichtigsten religiösen, bildungsbezogenen und kulturellen Zentren des ungarischen Viertels „Toledo Birmingham“.

Er legte großen Wert auf die Bewahrung der ungarischen Sprache und Identität. In der achtklassigen Schule der Pfarrei sprachen 1927 seinen Angaben zufolge alle Schüler Ungarisch. In Zusammenarbeit mit den örtlichen reformierten und griechisch-katholischen Geistlichen förderte er die Zusammenarbeit zwischen den ungarischen Konfessionen in Toledo.

Er wurde zu einer landesweit bekannten Führungspersönlichkeit der ungarischen Gemeinschaft in den USA. Er war einer der Initiatoren des Transatlantikflugs „Justice for Hungary“ im Jahr 1931 und Vorsitzender des Organisationskomitees. Er trug dazu bei, die Unterstützung von Lord Rothermere zu gewinnen und die finanziellen sowie gesellschaftlichen Voraussetzungen für das Vorhaben zu schaffen. 1929 erhielt er den Titel eines päpstlichen Prälaten, 1937 wurde er mit dem Mittelkreuz des Ungarischen Verdienstordens ausgezeichnet.

1938 nahm er als Leiter der ungarischen Delegation in den USA am Internationalen Eucharistischen Kongress in Budapest teil und begrüßte im Namen des Zweiten Weltkongresses der Ungarn den Regenten Miklós Horthy. 1939 wurde er zum amerikanischen Vertreter der Szent-László-Gesellschaft ernannt.

Nach der deutschen Besetzung Ungarns am 19. März 1944 gab er aus Protest seine ungarischen Staatsauszeichnungen an Miklós Horthy zurück und verurteilte öffentlich die Verfolgungen durch die Nationalsozialisten. Gleichzeitig betonte er auch sein patriotisches Engagement für die USA: 1943 erwarb er amerikanische Kriegsanleihen im Wert von tausend Dollar.

Seine Goldene Messe feierte er am 16. November 1947. In den letzten Jahren seines Lebens übernahmen seine Hilfspfarrer aufgrund seines Gesundheitszustands einen Großteil seiner Aufgaben. Er verstarb am 6. April 1955 in Toledo und wurde auf dem Calvary-Friedhof der Stadt beigesetzt.