Elemér Géza Eördögh fue ordenado sacerdote el 18 de noviembre de 1897. Además de sus estudios en el seminario de Kalocsa, obtuvo una titulación universitaria y, posteriormente, ejerció su ministerio en varias parroquias de Hungría, algunas de ellas con población parcialmente alemana y eslovaca. En Nagybánya fue tutor de los hijos del conde Vilmos Pongrácz, al tiempo que cursaba estudios de Derecho en Budapest. Tras ejercer como vicario en Miskei y Kishegyes, fue nombrado párroco de Bácsújfalu y, posteriormente, de Futak.

En 1911, durante un proceso disciplinario iniciado contra él por la Santa Sede, abandonó Hungría. Llegó a Estados Unidos el 31 de agosto y, entre 1911 y 1913, atendió a los fieles católicos eslovacos de Throop, en Pensilvania. En 1913 fue nombrado párroco de la parroquia húngara católica romana de San Esteban el Rey, en Toledo, que dirigió hasta su muerte. Bajo su dirección se completó la construcción de la iglesia y de las instituciones adscritas a ella, y la parroquia se convirtió en uno de los centros religiosos, educativos y culturales más importantes del barrio húngaro de Toledo, conocido como Birmingham.

Prestó gran atención a la conservación de la lengua y la identidad húngaras. Según él mismo afirmó, en 1927 todos los alumnos de la escuela de ocho cursos de la parroquia hablaban húngaro. En colaboración con los pastores reformados y greco-católicos locales, promovió la cooperación entre las confesiones húngaras de Toledo.

Se convirtió en una figura destacada de la comunidad húngara en Estados Unidos a nivel nacional. Fue uno de los impulsores del vuelo transatlántico «Justice for Hungary» de 1931 y presidente de su comité organizador. Contribuyó a conseguir el apoyo de Lord Rothermere, así como a sentar las bases económicas y sociales de la iniciativa. En 1929 recibió el título de prelado papal y, en 1937, fue condecorado con la Cruz de Grado Medio de la Orden del Mérito de Hungría.

En 1938 participó, como jefe de la delegación húngara en Estados Unidos, en el Congreso Eucarístico Internacional de Budapest y, en representación del II Congreso Mundial de los Húngaros, fue quien dio la bienvenida al regente Miklós Horthy. En 1939 fue nombrado representante en Estados Unidos de la Sociedad de San László.

Tras la ocupación alemana de Hungría el 19 de marzo de 1944, devolvió en señal de protesta sus condecoraciones estatales húngaras a Miklós Horthy y condenó públicamente las persecuciones nazis. Al mismo tiempo, también hizo hincapié en su compromiso patriótico con Estados Unidos: en 1943 compró bonos de guerra estadounidenses por valor de mil dólares.

Celebró su misa de oro el 16 de noviembre de 1947. En los últimos años de su vida, debido a su estado de salud, sus vicarios asumieron gran parte de sus funciones. Falleció el 6 de abril de 1955 en Toledo y fue enterrado en el cementerio Calvary de la ciudad.