Elemér Géza Eördögh a été ordonné prêtre le 18 novembre 1897. Parallèlement à ses études au séminaire de Kalocsa, il a suivi un cursus universitaire, puis a exercé son ministère dans plusieurs paroisses de Hongrie, dont certaines comptaient une population en partie allemande et slovaque. À Nagybánya, il fut le précepteur des fils du comte Vilmos Pongrácz, tout en poursuivant des études de droit à Budapest. Après avoir exercé les fonctions de vicaire à Miskei et à Kishegyes, il devint curé de Bácsújfalu, puis de Futak.

En 1911, alors qu’une procédure disciplinaire avait été engagée contre lui devant le Saint-Siège, il quitta la Hongrie. Il est arrivé aux États-Unis le 31 août, puis, entre 1911 et 1913, il a desservi la communauté catholique slovaque de Throop, en Pennsylvanie. En 1913, il fut nommé curé de la paroisse catholique romaine hongroise Saint-Étienne-le-Roi de Toledo, qu’il dirigea jusqu’à sa mort. C’est sous sa direction que la construction de l’église et des institutions qui lui sont rattachées fut achevée, et la paroisse devint l’un des centres religieux, éducatifs et culturels les plus importants du quartier hongrois de Toledo, appelé Birmingham.

Il accordait une grande importance à la préservation de la langue et de l’identité hongroises. Selon ses dires, en 1927, tous les élèves de l’école de la paroisse, qui comptait huit classes, parlaient hongrois. En collaboration avec les pasteurs réformés et grecs-catholiques locaux, il a favorisé la coopération entre les confessions hongroises de Toledo.

Il est devenu une figure de proue de la communauté hongroise aux États-Unis, reconnue à l’échelle nationale. Il fut l’un des initiateurs du vol transatlantique « Justice for Hungary » de 1931 et président de son comité d’organisation. Il contribua à obtenir le soutien de Lord Rothermere, ainsi qu’à mettre en place le cadre financier et social de cette entreprise. En 1929, il reçut le titre de prélat pontifical et, en 1937, il fut décoré de la Croix moyenne de l’Ordre du Mérite hongrois.

En 1938, en tant que chef de la délégation hongroise aux États-Unis, il participa au Congrès eucharistique international de Budapest et, au nom du IIe Congrès mondial des Hongrois, il salua le régent Miklós Horthy. En 1939, il fut nommé représentant américain de la Société Saint-Laszlo.

Après l’occupation allemande de la Hongrie le 19 mars 1944, il rendit ses décorations d’État hongroises à Miklós Horthy en signe de protestation et condamna publiquement les persécutions nazies. Il a toutefois également souligné son engagement patriotique envers les États-Unis : en 1943, il a acheté pour mille dollars d’obligations de guerre américaines.

Il a célébré sa messe d’or le 16 novembre 1947. Au cours des dernières années de sa vie, en raison de son état de santé, ses vicaires ont pris en charge une grande partie de ses fonctions. Il est décédé le 6 avril 1955 à Tolède et a été inhumé au cimetière Calvary de la ville.