Elemér Géza Eördögh fu ordinato sacerdote il 18 novembre 1897. Oltre agli studi presso il seminario di Kalocsa, conseguì una laurea universitaria, dopodiché prestò servizio in diverse parrocchie dell’Ungheria, in parte abitate da popolazioni tedesche e slovacche. A Nagybánya fu precettore dei figli del conte Vilmos Pongrácz, mentre a Budapest proseguiva gli studi di giurisprudenza. Dopo aver svolto il ministero di cappellano a Miskei e a Kishegyes, divenne parroco a Bácsújfalu e poi a Futak.

Nel 1911, nel corso di un procedimento disciplinare avviato contro di lui dalla Santa Sede, lasciò l’Ungheria. Il 31 agosto giunse negli Stati Uniti e, tra il 1911 e il 1913, prestò servizio presso la comunità cattolica slovacca di Throop, in Pennsylvania. Nel 1913 fu nominato parroco della parrocchia ungherese di rito romano-cattolico di San Stefano Re a Toledo, che guidò fino alla sua morte. Sotto la sua guida fu completata la costruzione della chiesa e delle istituzioni annesse, e la parrocchia divenne uno dei centri religiosi, educativi e culturali più importanti del quartiere ungherese di Toledo, denominato Birmingham.

Dedicò grande attenzione alla conservazione della lingua e dell’identità ungherese. Secondo quanto da lui stesso affermato, nel 1927 tutti gli alunni della scuola a otto classi della parrocchia parlavano ungherese. In collaborazione con i pastori riformati e greco-cattolici locali, promosse la cooperazione tra le confessioni ungheresi di Toledo.

Divenne una figura di spicco della comunità ungherese negli Stati Uniti, conosciuta a livello nazionale. Fu uno dei promotori del volo transatlantico «Justice for Hungary» del 1931 e presidente del comitato organizzativo. Contribuì ad ottenere il sostegno di Lord Rothermere, nonché a creare le basi finanziarie e sociali dell’impresa. Nel 1929 ricevette il titolo di prelato pontificio e nel 1937 fu insignito della Croce di Medio Grado dell’Ordine al Merito Ungherese.

Nel 1938 partecipò al Congresso Eucaristico Internazionale di Budapest in qualità di capo della delegazione ungherese negli Stati Uniti e, in rappresentanza del II Congresso Mondiale degli Ungheresi, porse il benvenuto al reggente Miklós Horthy. Nel 1939 fu nominato rappresentante americano della Società di San László.

Dopo l’occupazione tedesca dell’Ungheria del 19 marzo 1944, in segno di protesta restituì a Miklós Horthy le onorificenze di Stato ungheresi e condannò pubblicamente le persecuzioni naziste. Allo stesso tempo, sottolineò anche il suo impegno patriottico verso gli Stati Uniti: nel 1943 acquistò titoli di guerra americani per un valore di mille dollari.

Celebrò la sua messa d’oro il 16 novembre 1947. Negli ultimi anni della sua vita, a causa delle sue condizioni di salute, i suoi viceparroci assunsero gran parte dei suoi compiti. Morì a Toledo il 6 aprile 1955 e fu sepolto nel cimitero di Calvary della città.