Elemér Géza Eördögh foi ordenado sacerdote a 18 de novembro de 1897. Para além dos estudos no seminário de Kalocsa, obteve formação universitária, tendo posteriormente exercido o ministério em várias paróquias da Hungria, algumas delas com população parcialmente alemã e eslovaca. Em Nagybánya, foi tutor dos filhos do conde Vilmos Pongrácz, ao mesmo tempo que prosseguia os seus estudos de Direito em Budapeste. Após ter exercido o ministério de capelão em Miskei e Kishegyes, tornou-se pároco de Bácsújfalu e, posteriormente, de Futak.

Em 1911, durante um processo disciplinar movido contra ele pela Santa Sé, abandonou a Hungria. Chegou aos Estados Unidos a 31 de agosto e, entre 1911 e 1913, serviu os fiéis católicos eslovacos de Throop, na Pensilvânia. Em 1913, foi nomeado pároco da paróquia católica romana húngara de São Estêvão, em Toledo, que dirigiu até à sua morte. Sob a sua direção, foi concluída a construção da igreja e das instituições a ela associadas, e a paróquia tornou-se um dos mais importantes centros religiosos, educativos e culturais do bairro húngaro de Toledo, conhecido como Birmingham.

Dedicou grande atenção à preservação da língua e da identidade húngaras. Segundo ele, em 1927, na escola de oito anos da paróquia, todos os alunos falavam húngaro. Em colaboração com os pastores reformados e greco-católicos locais, promoveu a cooperação entre as congregações húngaras de Toledo.

Tornou-se uma figura de destaque da comunidade húngara nos Estados Unidos, conhecida a nível nacional. Foi um dos iniciadores do voo transatlântico «Justice for Hungary» de 1931 e presidente da comissão organizadora. Contribuiu para angariar o apoio de Lord Rothermere, bem como para criar as bases financeiras e sociais da iniciativa. Em 1929, recebeu o título de prelado papal e, em 1937, foi condecorado com a Cruz Média da Ordem do Mérito da Hungria.

Em 1938, participou no Congresso Eucarístico Internacional de Budapeste como chefe da delegação húngara nos Estados Unidos e, em representação do II. Congresso Mundial dos Húngaros, saudou o governador Miklós Horthy. Em 1939, foi nomeado representante norte-americano da Sociedade de São László.

Após a ocupação alemã da Hungria, a 19 de março de 1944, devolveu as suas condecorações oficiais húngaras a Miklós Horthy, em sinal de protesto, e condenou publicamente as perseguições nazis. Ao mesmo tempo, sublinhou também o seu compromisso patriótico para com os Estados Unidos: em 1943, adquiriu títulos de guerra americanos no valor de mil dólares.

Celebrou a sua missa de ouro a 16 de novembro de 1947. Nos últimos anos da sua vida, devido ao seu estado de saúde, os seus vigários assumiram uma parte significativa das suas funções. Faleceu em Toledo, a 6 de abril de 1955, e foi sepultado no cemitério Calvary da cidade.