József Kossalkó nasceu em 5 de janeiro de 1832 em Nagysáros e foi ordenado sacerdote em 27 de julho de 1855. Iniciou a sua carreira sacerdotal na Diocese de Szepes, tendo sido transferido para a Diocese de Košice em 1858. Durante o seu ministério na Hungria, exerceu funções como vigário em Szepesváralja, Béla, Kluknó e Nagysáros; mais tarde, foi capelão militar no 66.º Regimento de Infantaria, tendo posteriormente servido como pastor em Bátya, Lapispatak e Ossikó.

Em 1884, emigrou para os Estados Unidos, onde aparece inicialmente em Streator, no estado de Illinois, e depois se tornou pastor da comunidade católica eslovaca de Hazleton, na Pensilvânia. De acordo com a história da Paróquia de São José de Hazleton, atuou como segundo pároco da paróquia de 8 de abril de 1890 a 28 de fevereiro de 1892. Durante o seu ministério, a paróquia atravessou um período difícil e, após a sua partida, permaneceu sem pastor permanente durante um longo período. A história oficial da paróquia afirma inequivocamente que regressou à Europa em 1892.

De acordo com os dados húngaros e americanos que sobre ele subsistem, a sua atuação nos Estados Unidos não foi isenta de problemas. Em Hazleton, surgiu um grave conflito entre ele e parte dos fiéis e, segundo fontes húngaras, foi também acusado de peculato, embora os detalhes deste facto ainda não tenham sido confirmados por fontes arquivísticas primárias. A fase posterior da sua vida é particularmente incerta. Segundo outras fontes, entre 1893 e 1910, exerceu o seu ministério em Bridgeport, no estado da Pensilvânia; no entanto, isto é difícil de conciliar com a informação da paróquia de Hazleton de que regressou à Europa em 1892.

O local e a data da sua morte são, até ao momento, desconhecidos. Com base nos dados disponíveis, pode-se afirmar com certeza que ele pertencia ao grupo de pastores católicos eslovacos nos Estados Unidos no final do século XIX; no entanto, a sua atividade é ensombrada por conflitos e circunstâncias que permanecem até hoje pouco claras.